已知小球自由落体,重力加速度为g,小球中心经过光电门传感器顶端时,下落了h高度,光电门宽度为d,系统误差为f(h,d,g);求系统误差与h的关系。

$$v_\frac{d}{2}=\sqrt{2g(h+\frac{d}{2})}$$ $$v_\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{2gh}+\sqrt{2g(h+d)}}{2}$$ $$f(h,d,g)=v_\frac{d}{2}-v_\frac{t}{2}=\sqrt{2g(h+\frac{d}{2})}-\frac{\sqrt{2gh}+\sqrt{2g(h+d)}}{2}$$ $$f'(h,d,g)=\frac{∂f}{∂h}=\sqrt{g}(\frac{1}{\sqrt{d+2h}}+\frac{1}{2\sqrt{2h}}+\frac{1}{2\sqrt{2d+2h}})$$

(1):f'(h,d,g)在定义域{f,d,g|f,d,g>0}内连续可导

(2):联立$\frac{∂f'}{∂h}=0$;$\frac{∂f'}{∂d}=0$;$\frac{∂f'}{∂g}=0$,在定义域{f,d,g|f,d,g>0}内无解,则f'(h,d,g)定义域{f,d,g|f,d,g>0}内无极值

(3):取h=1;d=1;g=1,得$\frac{∂f'}{∂h}>0$;$\frac{∂f'}{∂d}>0$;$\frac{∂f'}{∂g}<0$

由(1)(2)(3)得,

$$f'(h,d,g)_{max}=\lim_{h,d→∞,g→0}f'(h,d,g)=0$$

则f'(h,d,g)<0恒成立,

因此∀大于0的常数d,g,系统误差f(h,d,g)随高度h的增大而减小。